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数学历史书籍


来源: 作者: 日期:2011-12-21
《孙子算经》

约成书于四、五世纪,作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则,卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题,可谓是后世「鸡兔同笼」题的始祖,后来传到日本,变成「鹤龟算」。
具有重大意义的是卷下第26题:「今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:『二十三』」。《孙子算经》不但提供了答案,而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作,推广「物不知数」的问题。德国数学家高斯﹝K.F. Gauss.公元1777-1855年﹞于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。公元1852年,英国基督教士伟烈亚士﹝Alexander Wylie公元1815-1887年﹞将《孙子算经》「物不知数」问题的解法传到欧洲,公元1874年马蒂生﹝L.Mathiesen﹞指出孙子的解法符合高斯的定理,从而在西方的数学史里将这一个定理称为「中国的剩余定理」﹝Chinese remainder theorem﹞。

《周髀算经》﹝公元前100年﹞

汉朝人撰,是一部既谈天体又谈数学的天文历算著作,主要讨论盖天说。《周髀》的本文是周公,商高问答部份,提出了著名的「勾三股四弦五」这个勾股定理的一个特例。接下去的荣方陈子问答部份,是《周髀》的续文,陈子教给荣方学习和研究数学的方法,并且记载了陈子测日法所用的「勾股各自乘,并而开方除之」的话。唐朝李淳风等选定数学课本时,认为它是一个最可贵的数学遗产,将它作为「算经十书」的第一种书,并给它一个《周髀算经》的名称

《海岛算经》

《海岛算经》由三国刘徽所着,最初是附于他所注的《九章算术》(263)之后,唐初开始单行,体例亦是以应用问题集的形式。
  全书共9题,全是利用测量来计算高深广远的问题,首题测算海岛的高、远,故得名。《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着 ,亦为地图学提供了数学基础。

《算数术》

1983年在湖北省江陵县张家山,出土了一批西汉初年,即吕后至文帝初年的竹简,共千余支。经初步整理,其中有律令、《脉书》、《引书》、历谱、日书等多种古代珍贵的文献,还有一部数学著作,据写在一支竹简背面的字迹辨认,这部竹简算书的书名叫《算数书》。

全书约有200多支竹简,其中完整的有185支,10余根已残破。经研究,它和《九章算术》有许多相同之处,体例也是“问题集”形式,大多数题都由问、答、术三部分组成,而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。全书总共约七千多字,有60多个小标题,如“方田”、“少广”、“金价”、“合分”、“约分”、“经分”、“分乘”、“相乘”、“增减分”、“贾盐”、“息钱”、“程未”等等,但未分章或卷。

《算数书》是中国现已发现的最古的一部算书,大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年,而且《九章算术》是传世抄本或刊书,《算数书》则是出土的竹筒算书,属于更可珍贵的第一手资料,所以,《算数书》引起了国内外学者的广泛关注,目前正在被深入研究之中。

《九章算术》

第一章,「方田」:

平面图形面积的量法及算法,如矩形、三角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式,及分数算法,包括加减乘除法、约分﹝将分母,分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。

第二章,「粟米」:

各种粮食交换之间的计算,讨论比例算法。

第三章,「衰分」:

比例分配问题。

第四章,「少广」:

多位数开平方,开立方的法则。

第五章,「商功」:

立体形体积的计算。

第六章,「均输」:

处理行程和合理解决征税的问题,尤其是与人民从本地运送谷物到京城交税所需的时间有关的问题,还有一些与按人口征税有关的问题,其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。

第七章,「盈不足」:

算术中的盈亏问题的算法,实际上就是现在的线性插值法,它还有许多名称,如试位法、夹叉求零点、双假设法等。

第八章,「方程」:

有关一次方程组的内容,最后还有不定方程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」,这是《九章算术》中解多一次方程组的方法,而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。

第九章,「勾股」:

专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。

《九章算术》的出现,标志着我国古代数学体系的正式确立,当中有以下的一些特点:1.是一个应用数学体系,全书表述为应用问题集的形式;2.以算法为主要内容,全书以问、答、术构成,“术”是主要需阐述的内容;3.以算筹为工具。

《九章算术》取得了多方面的数学成就,包括:分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。《九章算术》的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。自隋唐之际,《九章算术》已传入朝鲜、日本,现在更被译成多种文字。

算经十书

唐代国子监内设立算学馆,置博士、助教指导学生学习数学,规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部算经为课本,用以进行数学教育和考试,后世通称为算经十书.算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作.北宋时期(1084年),曾将一部算经刊刻发行,这是世界上最早的印刷本数学书.(此时《缀术》已经失传,实际刊刻的只有九种)。

《测圆海镜》

《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所着,成书于1248年。全书共有12卷,170问。这是中国古代论述容圆的一部专箸,也是天元术的代表作。

《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。勾股形的解法是古代传统数学的重要内容之一。

 李冶在40岁时便放弃功名,终生从事数学研究。他反对象数神秘主义,认为数学来自客观的自然界,这些观点反映在他自己写 的「《测圆海镜》序」中,这在当时是十分可贵的,也是他在数学上取得重大成就的主 要因素之一。

 后世学者对《测圆海镜》给以高度的评 价。清代阮元认为《测圆海镜》是「中土数学之宝书」,李善兰称赞它是「中华算书实无有胜于此者」。

《数术记遗》

《数术记遗》相传是汉末徐岳所作﹝亦有数学史家认为本书是北周甄鸾自着﹞。

《数术记遗》把大数的名称按不同的涵义排列三个不同的数列,另一部份是关于一个幻方的清楚的说明,它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一,书中至少提到了四种算盘,因此它是谈到算盘的最古老的书籍。

中国古代数学在几何学领域的独特贡献

中国是世界文明发达最早的国家之一,与古代埃及、印度、巴比伦并称为四大文明古国.在绵延不断的五千年文明史中,中华民族集累了极其丰富的文化遗产.

  在这个多姿多彩的历史文化宝库中,数学无疑是其中一颗特别璀璨的明珠.它在世界数学史上,乃至在整个人类文明发展史上都光彩夺目,具有极其重要的地位和价值.中国古代的数学成就如同造纸、火药、指南针、印刷术这四大发明一样,是中华民族对世界文明的一项重大贡献,是值得炎黄子孙珍视的一份骄傲.

  几何是一门古老的学科,它是在人们的生产和生活等实践活动中逐步形成和发展起来的.“几何”是一个翻译名词,由我国明代科学家徐光启首先使用.但是我国古代劳动人民在长期的生产劳动和社会生活中早已积累了大量的几何知识,其成就是十分突出的,如流传至今的《墨经》、《周髀算经》、《九章算术》等自然科学和数学著作,都记载下了很多几何方面的知识.

  (1)《墨经》(公元前480年~公元前390年)中,已经出现了最早的几何学理论的雏形.把“圆”定义为“圆,一中同长也”.意思是:圆有而且仅有一个中心,从圆心到圆周上任何一点距离相等.这与欧氏的提法基本一致,但比欧氏要早100多年.  

  (2)《周髀算经》(公元前100年前后)中,记载了勾股定理和开平方法,并用于天文观测和计算.

   (3)《九章算术》(公元50年~100年或更早),历代数学家把它尊为“算经之首”.它的计算技术在当时的世界是第一流的,对古代的几何学知识也作了比较系统的总结和阐发,它的成就主要表现在对各种平面图形的面积计算,对各种立体图形的体积计算,以及对勾股形的形容和应用这几个方面.


  此外,在中国古代数学的发展中,天元术起着重要的作用。在《测圆海镜》问世之前,我国虽有文字代表未知数用以布列方程和多项式的工作,但是没有留下很有系统的记载。李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术,使文词代数开始演变成符号代数。

  所谓天元术,就是设「天元一」为未知 数,根据问题的已知条件,列出两个相等的多项式,经相减后得出一个高次方式程,称为天元开方式,这与现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家,只有到了16世纪以 后才完全作到这一点。《测圆海镜》全书170 题,基本上都是(依据《识别杂记》)列出天元式,求出勾股容圆问题的解。

《代数学》

《代数学》由伊斯兰数学家、天文学家花拉子莫﹝约783─约850﹞所着。阿拉伯原文书名直译为《利用还原与对消运算的简明算书》。该书1183年被译成拉丁文传入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中「代数学」﹝Algebra﹞一词是由阿拉伯文的拉丁转写al-jabr演变而来,后渐称该书为《代数学》。这是历史上使用这一名称的最早的代数方面的著作。一般认为该著作是近代意义下的代数学的真正肇始之作。

全书由三部分组成,第一部份讲述现代意义下的初等代数;第二部份讲各种实用算术问题。最后列举了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号,而是用语言叙述。

《代数学》是受到了希腊数学乃至印度数学的影响的。它不但对阿拉伯数学而且对欧洲数学的发展产生了深远的影响,花拉子米因此有「代数学之父」之称

〈莱因德纸草书〉

《莱因德纸草书》﹝Rhind Papyrus﹞是公元前1650年左右的埃及数学著作,属于世界上最古老的数学著作之一。作者是书记官阿默斯。内容似乎是依据了更早年代﹝1849 B.C. ─1801 B.C.﹞的教科书,是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作,最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元1858年由英国的埃及学者莱因德﹝A. H. Rhind﹞购得,故名。现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长544厘米,宽33厘米。


纸草书的卷首载录了一组分数分解表,把﹝n为3到101之间的奇数﹞分解为单位分数﹝分子为1的分数﹞之和,如将写为 + 。接着列出了87个问题,每个问题都给出了解答。问题1─6是如上第二个表的应用,如问题3是10个人分6只面包,问各得多少。7─20题是分数的乘法运算。21─23题分别是将一已知分数变为单位1和。问题24─38内容在今天可归为一元一次方程,其解法使用了假位法。其中后半部份﹝35─38﹞是关于量器海克特﹝hekat﹞的使用问题,39-40是关于面包分配的问题,涉及等差数列。如第40题为:「把100只面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使最大的三份之和的是最小的两份之和,问各得多少?」问题41─46是体积问题。48─55题为面积问题,其中有圆、正方形、等腰三角形、等腰梯形等。圆的面积是直径的九分之八的平方,即相当于取圆周率π= 3.16049。56─60题是金字塔问题,从中可看到三角学的初步知识。问题61以后是杂题,涉及许多实际问题,其中69─78题是关于食物中所含原料的比例问题。79题是一个等比数列问题。84题是牲畜饲料的分配问题。其它问题不甚完整。

莱因德纸草书是了解埃及数学的最主要依据。它准确反映了当时埃及的数学知识状况,其中鲜明地体现了埃及数学的实用性。它对我们应该如何看待数学的起源问题有很大的启发。

《几何原本》


《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶,其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起,在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经多次翻译和修订,自1482年第一个印刷本出版后,至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外,没有任何其他著作,其研究、使用和传播之广泛,能够与《几何原本》相比。但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响,却是《圣经》所无法比拟的。

公元前7世纪之后,希腊几何学迅猛地发展,积累了丰富的材料。希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理,并试图将其组成一个严密的知识系统。首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的希波克拉底(Hippocrates),其后经过了众多数学家的修改和补充。到了公元前4世纪时,希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础。

欧几里得在前人工作的基础之上,对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理,用命题的形式重新表述,对一些结论作了严格的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理,并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列,然后在此基础上进行演绎和证明,形成了具有公理化结构的,具有严密逻辑体系的《几何原本》。

《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了,它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩(Theon,约比欧几里得晚七百年)编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷,总共有465个命题,其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。

第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理,还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。这里我们想到了关于英国哲学家T.霍布斯的一个小故事:有一天,霍布斯在偶然翻阅欧几里得的《几何原本》,看到毕达哥拉斯定理,感到十分惊讶,他说:“上帝啊!这是不可能的。”他由后向前仔细阅读第一章的每个命题的证明,直到公理和公设,他终于完全信服了。

第二卷篇幅不大,主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。

第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。

第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释,被认为是最重要的数学杰作之一。据说,捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和牧师波尔查诺(Bolzano,1781-1848),在布拉格度假时,恰好生病,为了分散注意力,他拿起《几何原本》阅读了第五卷的内容。他说,这种高明的方法使他兴奋无比,以致于从病痛中完全解脱出来。此后,每当他朋友生病时,他总是把这作为一剂灵丹妙药问病人推荐。

第七、八、九卷讨论的是初等数论,给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”,讨论了比例、几何级数,还给出了许多关于数论的重要定理。

第十卷讨论无理量,即不可公度的线段,是很难读懂的一卷。最后三卷,即第十一、十二和十三卷,论述立体几何。目前中学几何课本中的内容,绝大多数都可以在《几何原本》中找到。

《几何原本》按照公理化结构,运用了亚里士多德的逻辑方法,建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。所谓公理化结构就是:选取少量的原始概念和不需证明的命题,作为定义、公设和公理,使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据,然后运用逻辑推理证明其他命题。《几何原本》成为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范。

诚然,正如一些现代数学家所指出的那样,《几何原本》存在着一些结构上的缺陷,但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远.使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神,是人类文化遗产中的一块瑰宝。



《几何原本》﹝Elements﹞由希腊数学家欧几里得﹝Euclid,公元前300年前后﹞所着,是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。

《几何原本》共13卷。每卷﹝或几卷一起﹞都以定义开头。第I卷首先给23个定义,如「点是没有部分的」,「线只有长度没有宽度」等,还有平面、直角、锐角、钝角、并行线等定义。之后是5个公设。欧几里得先假定下列作图是可能的:(1)从某一点向另一点画直线;(2)将一有限直线连续延长;(3)以任意中心和半径作圆。即他假定了点、直线和圆的存在性作为其几何学的基本元素,如此他就可以证明其它图形的存在性。第4个公设假定所有的直角都相等。第5公设即所谓平行公设:「若一直线与两直线相交,使同旁内角小于两直角,则两直线若延长,一定在小于两直角的两内角的一侧相交。」﹝自此以后,有许多学者认为这一公设可以证明,并试图寻求证明,未能成功。直到19世纪,高斯、罗巴切夫斯基和波尔约分别独立地由此发展出非欧几何学。﹞公设之后有5个公理,它们一起构成了整部著作的基础。当时认为公理是对所有学科都适用的。如第1个公理「与同一事物相等的事物,彼此相等」。由这些基本定义、公设、公理出发,欧几里得运用严格的逻辑工具在第I卷中共推出48个命题,这也是整部著作的特点。

《几何原本》前6卷是平面几何内容。第I卷内容有关点、直线、三角形、正方形和平行四边形。第I卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理:「直角三角形斜边上的正方形等于直边上的两个正方形之和。」

第II卷在定义了磬折形之后,给出了14个命题,是第I卷命题44、45有关面积变换问题的继续。若将几何变换翻译成代数语言,即从所谓几何代数的观点来看,命题4「将一线段任意分为两部份,则在整个线段上的正方形等于在部份线段上的两个正方形加上以这两部份线段为边的矩形的二倍」相当于等式( a + b )2 = a2 + 2ab + b2。命题5、6、11、14就相当于解二次方程ax - x2 = b2、ax + x2 = b2、x2 + ax = a2、x2 = ab。第12、13命题相当于余弦定理的证明。

第III卷的37个命题,论述圆、圆的相交与相切、弦、圆周角等。

第IV卷16个命题,全是有关圆的问题,尤其圆的内接与外切直线图形,包括圆内接正多边形的作图。如命题16要求作圆内接正15边形。

第V卷发展了一般比例论,赢得后世数学家的高度赞扬。毕达哥拉斯学派的比例论只适用于可公度量,而这里的一般比例论则适用于一切可公度与不可公度量。该卷的核心即含于开篇的定义中,定义4表明:「两量之间有一个比,若其中之一倍乘时能超过另一量。」此定义排斥了无穷大与无穷小,与今天的所谓阿基米德公理类同。定义5给出了比例的定义,被认为是古希腊数学中几个最具创造的成果之一。余下的定义有关多种比的变换─交比、反比、合比、分比等。在之后给出的25个命题中应用了以上各种运算。

第VI卷中应用前一卷建立的一般比例论于相似图形,给出了33个命题。

第VII、VIII、IX三卷是算术内容,主要讲数论,各有39、27、36个命题。其中第V卷中发展的一般比例论被用于数。第VII卷命题1给出了欧几里得算法。第22-32命题是关于素数的。第VIII卷主要处理成连比例的数列问题。第IX卷命题20相当于证明了「素数个数无穷多」这一结论。

第X卷包含115个命题,试图将无理线段进行分类,主要详尽讨论了可以表示成的线段的各种可能的形式。

最后三卷致力于立体几何。第XI卷大量命题有关平行六面体。第XII卷主要是应用穷竭法证明了图形的面积和体积之比的一些命题。第XIII卷研究了五种正多面体。

《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发,推导出大量结果,最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟,主导了其后数学发展的主要方向,使公理化成为现代数学的根本特征之一。

到19世纪末,《几何原本》的印刷版本达一千种以上。如今世界各国主要文种都有《几何原本》的译本。最早的英译本1570年由比林斯利﹝Henry Billimgsley﹞译成出版。中国最早的中文译本是1607年由利玛窦﹝Matteo Ricci﹞和徐光启合译的。他们只译出前6卷。250年后,1857年伟烈亚力﹝Alexander Wylie﹞和李善兰合译出后9卷﹝据15卷版本﹞。1990年,陕西科技出版社出版了根据希思﹝Thomas Heath﹞的标准英文版本《欧几里得几何原本13卷》﹝The Thirteen Books of Euclid‘)

《几何基础》

《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)是德国著名数学家希尔伯特所著,1899年初版,此后不断再版,至1930年已出第七版。

我们知道,几何学本来的对象就是图形,因而研究它们时必然要用到我们的空间直观性。可是直观性也有缺乏客观性的情况,因此在明确地规定了定义和公理的基础上,排除直观,建立纯粹的合乎逻辑的几何学的思想,在古希腊时代就已经开始了。欧几里得的《几何原本》就是在这种思想的指导下完成的。虽然长期以来,《几何原本》被视为完善的逻辑体系的典范,但是事实上随着时代的进步,数学的批判精神有所发展,人们注意到《几何原本》中的逻辑性存在许多缺陷。请看下例:

《几何原本》第1卷命题16:

任意三角形的任意一个外角大于任何一个内对角。

证明如图1,设ABC是一个三角形,延长BC到D,则可证外角ACD大于内对角CBA、BAC的任何一个。

设AC被E点平分,连BE并延长至F,使EF等于BE,连FC,延长AC至G.

易证三角形ABE全等于三角形CFE,所以角BAE等于角ECF,因角ECD大于角ECF,故角ACD大于角BAE.

类似地,BC被平分,角BCG,即角ACD可证明大于角ABC【】这个证明貌似逻辑严密,其实它在很大程度上依赖了直观性,问题出在“角ECD大于角ECF”,理论依据何在?根据公理5,整体大于部分。何调整体?难道只许把ECD视为整体,就不准把ECF作整体吗?

这个例子说明了直观性缺乏客观性,更暴露出《几何原本》的公理体系本身的不完备。而且这样的例子在机何原本种可谓比比皆是。到19世纪后半叶,许多数学家提出了可用以代替《几何原本》公理体系的在逻辑上完善的公理体系。其中,希尔伯特提出的公理体系是考虑最周到的。

希尔伯特精确地提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求,把空间内的点、直线、平面作为不定义的概念,规定它们之间存在着关联关系顺序关系、合同关系,这些关系由五组公理得以保障:

关联公理(Ⅰ1-Ⅰ8)8条;

顺序公理(Ⅱ1-Ⅱ4)4条;

合同公理(Ⅲ1一Ⅲ5)5条;

平行公理(Ⅳ)1条;

连续公理(V1~V2)2条。记述了希尔伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的《几何基础》出版后,立即引起了整个数学界的关注,并视为一部经典的著作。因为,希尔伯特上述工作的意义远超出了几何基础的范围,而使他成为现代公理化方法的奠基人。

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